数学之本
数学之本
这是我的高中数学笔记，此处只截取知识部分，习题部分不录。
首章 概述
数学者，数之学也。故数学之中，无处不数。数有三，知之者，不知之者，知而不明者也。知之者为常，不知之者为元，知而不明者为变。常：一；元：天地人物；变：上下有限曰合。三者相系，则为式，式者可变也。学数学，必先知其数，而後用之无不利，是以知其方也。不知方，无处可用其数；知其方，无往而不利也。其方有三，一曰慎，二曰简，三曰详察之。
数与运算
幂级数展开式:
《九章算术》开方术曰： 置积为实。借一算，步之，超一等。 议所得，以一乘所借一算为法，而以除。 除已，倍法为定法。 其复除，折法而下。 如是当复步之而止，乃得相命。故使就上折下。 复置借算，步之如初。以复议一乘之， 所得副以加定法，以除。以所得副从定法。
开立方术曰： 置积为实。借一算，步之，超二等。 议所得，以再乘所借一算为法，而除之。 除已，三之为定法。 复除，折而下。以三乘所得数，置中行。 复借一算，置下行。 步之，中超一，下超二等。 复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。 以定法除。除已，倍下，并中，从定法。 复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。
开平方求根式:
求和运算:
求积运算:
阶乘计算:
若记下限阶乘
则自然数阶乘
，于数域延拓者，标准阶乘也。
排列数计算:
组合数计算:
二项式定理:
逻辑函数:
排列组合与分组问题:
从m个互异元素取n个之排列:
从m个互异元素取n个之组合:
分组问题: 将m个元素分成不同的n组，分类之法何几
- 元素相同，每组元素个数不限:
思以板隔而分，譬如取板也，值
- 元素相同，每组都有元素:
预留元素以分之如上，值
- 元素相同，每组至少k个元素:
亦如上，值
- 元素互异，每组元素个数不限:
若组内元素先後有别，思以投球入篮，值
- 元素互异，每组都有元素:
预留元素分之如上，值
- 元素互异，每组至少k个元素:
亦如上，值
分堆问题:
- 每堆相同，元素互异:
- 每堆不同，元素互异:
- 元素相同，每堆相同或不同，仅有一个分类之法
分类原则: 先明限定，而後排列。
选数不邻: 从m个元素选出n个元素之于原排列不相邻者，其法何几
思以m-n个元素插入n个元素之间及两端，先插入n-1个元素于其间，後将m-2n+1个元素随机插入之，共计
乱序排列: m个元素重新排列，使其每个元素不在原位置，其法何几
代数
与之非等于非之或:
或之非等于非之与:
调和均值者倒数和分之个也:
几何均值者积开个次方也:
算术均值者个分之和也:
平方均值者个分之平方和而後开方也:
均值者，依大至小，平方、算术、几何、调和。
绝对值不等式:
函数者，原象至象之法也。象者数同原象则一一映射。
原象反且若象和零则奇，若象差零则偶。
奇函数:
偶函数:
对数与反双曲正切:
归方求和法: (此处判定数列
下标从0开始)
判定数列递推式:
整数幂和公式:
三角函数公式:
和差公式:
三倍角公式:
万能公式:
设有:
则有:
半角公式:
积化和差公式:
和差化积公式:
以下三角形公式，三边为a,b,c，三对角为A,B,C，面积为S，内接圆半径r，外接圆半径R.
正弦定理: 三角形之边除以对角正弦值外接圆之径也。
余弦定理:
正切定理:
内径定理:
切割定理:
余切定理:
海伦公式:
角的正切和等于正切积:
边a上的高线长度:
边a上的中线长度:
边a上的角平分线长度:
边a上的点H到点A的长度:
相切圆半径:
角的正余切:
半角正余切:
向量叉乘的方向: 大拇向四指，左掌背右心。双手矢乘积，方向由此定。
向量叉乘的值:
向量点乘的值:
空间直线AB与CD距离公式:
平面解析几何
直线：
点
到直线
的距离:
直线的极坐标方程:
，α为直线与极轴夹角，(r,β)为原点到此直线的垂足。
那么，点
到此直线距离为:
椭圆
与直线
相交于两点
则有:
此两点距离(交点弦长)为:
若此两点的中点为
，则交点弦MN斜率为:
若交点弦MN过椭圆焦点(c,0)且斜率为k，则其弦长为:
(e为离心率，c为焦距)
椭圆上点到两焦点的距离为
，则椭圆上此点的曲率半径为:
椭圆上点(p,q)的切线弦方程为:
椭圆的准线方程为:
双曲线性质类似椭圆，故从略。
双曲线
与直线
相交于两点
则有:
抛物线
与直线
相交于两点
则有:
若此两点的中点为
，则交点弦MN斜率为:
此抛物线上点(s,t)的切线弦方程为:
柱体的体积公式: 底面积乘高。
台体的体积公式: 上下底面积与其几何均值之和乘高除以三。
锥体的体积公式: 底面积乘高除以三。
角平分线与圆锥曲线:
圆上点之切线，其垂线过圆心。
椭圆上点至两焦点连线之角平分线垂直于其点之切线。
抛物线上点至焦点连线与对称轴之角平分线平行于其点之切线。
双曲线上点至两焦点连线之角平分线平行于其点之切线。
椭圆短轴与长轴之比为椭率。类比于三角形，使其一边为两焦点，另一点位之椭圆上，是椭圆之椭率可称是边之椭率也。三角形边上角平分线值其椭率乘另两边几何均值也。
概率与统计
两点分布: 又称伯努利分布。
二项分布: n重伯努利分布。
超几何分布:
方差与期望关系:
回归分析:
同一样本的两个随机变量之间的函数关系，可用最小二乘法得到，假设:
以最小二乘解之得:
以另一方程
算之，得:
此两随机变量之相关系数为r，有:
极限与导数
指数与对数的极限形式:
导数的运算法则:
曲线长度:
曲线与x轴围成的面积:
增同导律: 函数递增或递减则其增量亦增减。
凹凸函数面积定律: 函数
满足
那么: 若
为凹函数，则
，若
为凸函数，则
，其逆命题也为真。
证函数根与否:
矩阵与行列式
矩阵者，由数阵也，行列式者方阵之模也。矩阵有秩，行列式有值。
矩阵行变，行列式行列可变也，然行列倍之则式值倍。其变者同消元之法也。
矩阵有名，方阵，列阵，行阵，零阵。可降阶行列式值者，某行或某列仅有一个非零元素。
同阶矩阵者可和差，列同行则可乘。
解方程组亦如矩阵求反，一次方程组，变量列阵为向量，常量列阵为常向量，系数作方阵，则方程组可示为方阵乘以向量值常向量也，以解之。
方元法求方根
一元高次方程之解，可用方元法导之。
一元三次方程:
故而议之:
令
则有:
再以方元法导之，设有:
则有:
的两根为
以此，知f,g者亦得其根，以解其式。因以寻其系，f,g与系数c,d之代数式者何？
亦即:
代之，解方程:
得两根
，故而:
一元四次方程:
故而议之:
令
则有:
再以方元法导之，设有:
则有:
的三根为
以此，知f,g,h者亦得其根，以解其式。因以寻其系，f,g,h与系数b,c,d之代数式者何？
亦即:
代之，解方程:
得三根
，故而:
函数导数与零点之式
设
，
是n阶导数值。
令
则
而有:
此为二项展开递推式也，故而:
故证幂级数展开式也。
标准函数者，可于其上任一点展开为幂级数也。标准方程者，可以标准函数拟之，故其上任一点亦可展开为幂级数也。
幂级数之无负项系数列者，其正向系数列为其于点上多阶导数值也，是证幂级数展开式也。
是故知多阶导数值，以幂级数拟之，以表此点邻域之式也，是为导数拟合。
函数导数与函式:
函数
的n阶导函数
若
则有:
注：
为函数于点(x,y)之法向量。以上皆可推广至高阶。
可展开函数者亦可为两整式之商也。子式零点，称之为整式零点，母式零点，称之为分式零点，复合零点者既为整式零点又为分式零点也。
可展开函数
其所有整式零点为
所有分式零点为
则有:
若
，则称
为
之积数也，
为其积数表达式也。
例如:
方程与切线
曲线方程
对两边求导，得:
过点
之切线方程者，以导数为其向，故得:
二次方程
上点
的切线为:
数列求和之归方求和法
整数方幂求和
数列
其前n项和
有:
对此式两边求k阶导数，得:
又求导即得:
以知
值常数，设为
，而可设
为常数使:
将之与式b相代，解得:
复与式a相代，可依次解得:
设数列
使:
则有:
以式a得:
以上两式相代，得:
以上式两边k次项系数相等，亦可得:
以其两边常数项相等，可得:
此式整理得:
以式c得:
令
，则
，以此可得归方求和系数表也。
为得其关楗，以判定数列
替之
，使其与常数m无关也，即:
故有:
此即判定数列递推式也。
以之做归方求和系数表:
幂级数运算与实数阶导数
积分、导数之实质，升降幂运算也。
降幂运算、升幂运算，皆为幂级数之运算。幂级数者，幂函数之和也。
幂函数降一阶幂，其幂亦降为系数。记降幂符以"彳"，有式:
幂函数升一阶幂，其後幂复除之也。记升幂符以"禾"，有式:
是故多阶升降幂运算，有式:
幂函数降一阶幂者，值一阶导数也，降多阶幂者亦值多阶导数也。是故积分、导数，亦同升降幂也。是谓非整数阶导数者，以其降幂算之，积分者亦算以升幂也。
函数多阶导数，记之有式:
二项式定理可推广至任意幂，何以证之，以积分也。
于非负之整数幂之升幂，有式:
故有:
令
则有:
欲求
，可以
降幂而得，即有:
亦有:
是为相同二项展开式也。若交换常变量而展开，即得另式:
是故二项展开式广泛成立:
幂函数位移而降其幂阶者值常量也，是值其幂阶乘也。可证之以二项展开也。
实数方幂求和
数列
其前n项和
有:
对此式两边求k阶导数，得:
又求导即得:
需注意:
故而式d不易解之，但得一解即可。
以式:
两边降幂得:
是故式
与a无关也，为求其一解，可设其值:
故有:
上式与a无关，由已证之式
代之，可得一解，令之为:
以此解推之，若可得
之特解
，则有:
是故可设数列
使:
则有:
以上式两边k-1次项系数相等，可得:
以其两边常数项相等，可得:
此式整理得:
令
，则:
是式升幂可得:
同理，判定数列
令为
则有:
故有:
如此，任意方幂求和皆可用之，其亦可推广至任意函数求和也:
上式称为归方求和公式，其中，
称为函数f的偏移量。
判定数列与判定函数
判定函数: 以判定数列为系数的幂级数之函数，值
证:
令
，则有:
故得:
伯努利数与判定数列:
伯努利数的生成函数:
导数求和法
若
，则在一定限度内有:
证:
令
则
若
，则在一定限度内有:
证:
有:
故:
设数列
使:
由常数项对齐有:
令
，则
故:
其中，
的取值与f(0)和a有关。
的前几项如下:
若
，则在一定限度内有:
其以导数求和法可证之如上，从略。
若
，则
证:
令
，则
令
，则
故:
若
，则
若
(a为常数)，则
证:
令
，则
故得:
函数拟合与回调
已知函数于点之多阶导数，则可以幂级数拟之，是名导数拟合也。
若知函数所有零点，则可以零点拟合也。
若知函数上点集，则可以点集拟合也，是又称插值。
以点集
拟合之，得式:
其中，
称为回调算符，以此算符做下标之函数者
称为回调函数，回调运算以回调变量依次取值算之，首轮回调代入而得其式，次轮回调，上式之回调函数之位代以此轮之式也，以此回调毕，而得回调之长式也。
注：点集拟合，又称牛顿插值法。
回调运算可示函数迭代，以
之n阶迭代为:
函数拟合者，导数拟合、零点拟合、点集拟合，诸等皆可合用之。
于阶乘之对数，即求对数之和，以归方求和法得之，有式:
线性微分方程
记函数v关于t的n阶导数为
，线性微分方程:
设
使
引入降幂算符，有:
以式e则有:
以上式对齐系数，则有
是式
之根也。
以此，
欲解此方程，先消其右式，若式
，则可令
，若式
，则可令
使式f化为
，是降一阶之微分方程也，可复降之，以至能解。
是故得之线性微分方程之解:
于线性微分方程
，其特征方程
之根为
(互不重复)，其中，特征根
之重根数为
，则原微分方程之通解为:
线性微分方程与线性递归数列皆以降阶解之。而线性微分方程组，亦同以消元法解之。
独立重复试验与正态分布
以现象观之，独立重复试验众多，取其极也则从正态分布。
若
，令
，则
，那么:
又令
，则有:
是分布即为正态分布:
其概率密度函数为
令
，则
若其方差值一，则称之为标准正态分布。
独立方差可加性: 独立变量之和，其方差亦值变量方差之和也。
设独立变量
，有:
独立正态分布之和，亦为正态分布也。可证之以二项分布之极限式也。
设独立变量
服从正态分布，有:
则其概率密度函数为:
设a,t使:
由方差、期望不变，可得:
复以二项分布之叠加，即:
总之，二项分布之极于正态分布，独立二项分布之和亦于正态分布也。又于多项分布，可拆分之多个二项分布，是故多项分布亦极于正态分布，独立重复试验之趋于正态分布也。
卡方分布与独立性检验
卡方分布: n个独立随机变量
皆服从标准正态分布，则其平方和
服从自由度为n的卡方分布，记之为:
卡方分布之期望值其自由度，其之方差值自由度之倍也。独立之卡方变量之和亦服从卡方分布，其自由度亦相和也。
独立性检验: 采样之变量，以为服从正态分布，以两事件独立为假设，算其卡方变量，以卡方变量之式而得其自由度，以卡方值而判断原假设。
于卡方分布密度函数，人为拒绝其假设者，称之为拒绝域，以其概率低者皆拒之，是以其卡方值大者落入拒绝域，反之则落入接受域也。
卡方统计量: 多个服从正态分布的随机变量之间仅有线性关系，那么其卡方统计量值为以各个观测值与其期望值之差的平方除以期望值而求和也。
若来自同一抽样的两试验A,B之结果:
为判定A,B是否独立，算其卡方值为:
若以其落入自由度为1的卡方分布之拒绝域而否之，即否认A,B独立，若反之则A,B独立也。
证:
统计之义以其假设，是故借卡方统计量算之:
先以为A,B独立，则有:
又假定其概率为:
则有:
是故:
其最少独立约束条件有三个:
而卡方统计量算式有四个随机变量，故其卡方变量服从于自由度为1的卡方分布，是为独立性检验之证也。
卡方统计量之式，何以服从卡方分布也？是以抽样之事件以泊松分布也，证之以下:
吾以时收样，众人皆呈之，吾得样本之频数，是服从泊松分布也。
样本之频数，视为随机变量，其随机变量之有约束条件，若为线性约束，则解之矣。
以取样之事件
，其频数之随机变量为
，若无约束，则皆服从泊松分布，泊松分布于频数较大者可近似正态分布，故有:
以此随机变量之分布相联，则构n维正态分布之式:
线性约束方程，可视之为向量空间之切面，以解约束方程而示随机变量以独立之向量，则代之入前述n维正态分布之式，是式指数为二次型也，其必可正交化以标准正态分布之向量，是相同多维正态分布于不同向量空间之变换也，其卡方值不变，故证之。
以数式示之，线性约束条件可为:
可设
为独立随机变量，而後以之表出:
以无约束之分布之事件，合以约束条件者，构之集合为约束之分布也。合则代之:
其所函随机向量者，可不为标准正态分布也，故以之线性表出之标准正态分布之随机向量:
于是其分布为:
是故卡方变量值为:
代以式g，可解变换矩阵A，以此变换存在，而其有卡方变量值为:
是为卡方统计量之式也，其可做卡方变量，服从于卡方分布也。
函数运算
差分为求和之逆运算也，记之:
则有:
幂级数简记为:
或可省略为:
记正项幂级数为:
亦可略之:
有式:
复数运算
复数的辐角主值: 此处取值域
三角双曲与指数函数:
初等函数的复数运算:
数方
数学之中，无处不数。数有三：知之者，不知之者，知而不明者也。知之者常，不知之者元，知而不明者变。常，一；元，天、地、人、物；变，上下有限曰合。三者相系则为式，式者可变也。学数学，必先知其数，而后用之无不利，是以知其方也。不知方，无可用其数；知其方，无往而不利也。其方有三，一曰慎，二曰简，三曰详察之。
四则与整，为数之基，能生万法。故不变者常，不知者元，多变者合，以函数一之也。知数理以生数学也。
数成之法，在此中也。其为函数，虽无穷尽，然亦不足。不足者众，非此一也。此则无数为一，一为有限，以有限知无限耳。
式解为元，每议愈精，议穷乃得，是无穷逼近也。入其法，必知其主，知其关楗。
天数不可算，测地也；地方不可量，视人也；人心不可知，观物也。
数中有式，式中有主，故有公式。以公推式，以简式值。用其公，复归其根，是简其理。数中有理，理中有主，是名公理，理中关楗，是名定理。是故知公知定知推论，是简其道。
数学之用，必系实际。充数之法，益以其用。数性不离，以生其智，其智常在，以明万法。数法多以常知元，以元知合，是演绎法也；多由实际来，纳而归之，是归纳法也。
常为元根，元为合基。知常乃明，明乃公，是为王法，是数之天，此道久存，不生不灭。
定数之义，据义生理，以明数义，据则成法，以概数法。义则为难，慎思之，屡简之，详察之，因时复归。
入以简，其公简之，理法得之，性从法简之，详察以验，化从简求之，此六择之方也。其所道，入、公、理、性、察、化也。入为基，公为辅，理以助，性于用，察以洞，化以转。结形有象，方易洞之。
知常而演，以公从简，当时是明，明是公，于法刑之，亡公遂立常得以刑。
数之慎，明大小，了正负，驻整分，审于算，白于表，察于法。详察之验，以其详，详则尽，尽则清，清则明，验无不正。
根之所得，多以图表刑，是以当得不解。得其根，理其法，以正之；从其极，往其同，以化之。
知常而用，不尽则转，半则分论，是简之法，必明于思，无可执之。
函数之性，究以其导，言以导定，性皆于中，是以刑法。何法其化？结其式，主其元，分其整，总其理，系其殊，构其形，类其法。
知题目，乃握主，组法以解。假设以利，得式而解。递归其根，同式以正。积导三次，图易其化。正反相系，或益其理。然题无尽而理法有穷，其必有公，得其公，每遇不难。时察不详，洞有误，明以补矣。
数法
由方知法，数法皆源其方，数法有二：演绎、归纳。常演其式，时纳其果。
数之题，本无等分，然依人之方，始分之：直入其法，分类讨论，猜而简证，递归其根。时题不入其法，无其通法，而有题入其法，依其通法。不入者，但以方归之；入者，只以法得之。
论高次，次减系根。解函数，积导三次。若绝对值不等式，用其式，平方去之，论而平，损元域，放缩以解。若参数方程，直入之，结形益之，方程解之。
如选其根。可入即入；若框图，实为数列则递推而时以察；三角运算，能除之除也，否则变之；求离心率，边角以构解三角形也；究函以导，范围则分其元，最值则以单调性；面体之积，得关楗，内接外接之球半径，以坐标、几何、体积算之；三视图，画而後计；不等式，公式转化，或放缩，或猜而简证；向量则以基元、建系、转化也；几何比，以其定理，或依向量；目标之极，线性规划，或转之为距离、函数。
填其根，以三角公式解之，以分其元求参，以轨迹求值，以模简周期函数。
解而作答。证函数不等式，化为函数恒大之，则以导求根，代而得值，若此不可则结式以得，求根范围，此其一般法；或主其元；以式放缩；结形易之，以切线、面积、距离之法也。和式不等式，差值以降，归纳证之，公式以放缩。根关系，还为不等式，主元以构函数，放缩或以图像，对数直线变换，是以两根之比一之。参数范围，分其式以解，讨论以定，猜而後证之。近其根，或求系数之和，结式论之，以特殊值代之。圆锥曲线，方程联立而以韦达定理，定其式，结其象，辅以判别式、中点弦、切线方程、化椭为圆。数列通项，用其公，变其式，求差相消，以不动点、特征根，或假设之法。通项和，裂项求之，错位相减或倒序相加，以公式解之，归方、导数求之。立体几何，综合法、向量法，建系以算之。